Aby wyjaśnić zasadę działania aplikacji dołączonej na końcu rozdziału przedstawię potrzebne twierdzenia matematyczne, często nie używając precyzyjnych pojęć matematycznych, lecz powołując się raczej na intuicję.

Na początku wyjaśnię pojęcie odległości, czyli metryki. Jeśli na prostej mamy dane dwa punkty $x_1$ oraz $x_2$ to ich odległość określa liczba d( $x_1$, $x_2$) =| $x_1$- $x_2$|, na płaszczyźnie odległść dwóch punktów określa wzór

d( ($x_1$ , $y_1$), ($x_2$ , $y_2$) ) =$\sqrt{{(x_1-x_2)}^2{+(y_1-y_2)}^2}$

W teorii fraktali używa się metryki Hausdorffa. W sensie tej metryki dwa zbiory A i B (np. podzbiory płaszczyzny) leżą blisko siebie, jeśli każdy punkt zbioru A leży "blisko" jakiegoś punktu zbioru B i na odwrót. Oznacza to, że np. dwa koła A i B, leżące jedno wewnątrz drugiego wcale nie leżą "blisko" w sensie metryki Hausdorffa.

Za przestrzeń X przyjmuję podzbiór płaszczyzny kartezjańskiej spełniający warunki twierdzenia.

W dowodzie twierdzenia Banacha budowany jest pewien ciąg w następujący sposób: punkt $x_1$ wybierany jest dowolnie następnie
$x_2=f\left(x_1\right)$ , $x_3=f\left(x_2\right)$ ,...., $x_n=f\left(x_{n-1}\right)$. Ciąg $x_n$ dobrze przybliża rozwiązanie równania f(x)=x, zachodzi przy tym nierówność

d($x_n,x$)≤$\frac{{\alpha }^{n-1}}{1-\alpha }$d($x_1,x_2$). (*)

Nierówność mówi, że przyjmując za rozwiązanie równania f(x)=x punkt $x_n$ popełniamy błąd nie większy od prawej strony. Ponieważ wyrażenie $\frac{{\alpha }^{n-1}}{1-\alpha }$ dąży do 0 ( bo α∈(0,1)), więc prawa strona nierówności może być liczbą dowolnie małą.

Do konstrukcji fraktali będziemy używać tzw. przekształceń afinicznych. Jeśli P(x,y) jest pewnym punktem płaszczyzny, to przekształcenie w(P)=(u,v)=(ax+by+e,cx+dy+f), gdzie a,b,d,d,e,f∈R nazywa się przekształceniem afinicznym płaszczyzny. Mając na płaszczyźnie dwa trójkąty o wierzchołkach $P_1(x_1,y_1)$ , $P_2(x_2,y_2)$, $P_3(x_3,y_3)$ oraz $Q_1(u_1,v_1)$, $Q_2(u_2,v_2)$, $Q_3(u_3,v_3)$ możemy znaleźć odwzorowanie afiniczne, przekształcające jeden z nich na drugi. Wystarczy rozwiązać układ sześciu równań z sześcioma niewiadomymi.W aplikacji do rozwiązania układu równań używam wzorów Cramera.

Metoda konstrukcji fraktali polegać będzie na doborze odpowiednich odwzorowań afinicznych, które przekształcają trójkąt na trójkąt. Popatrzmy na rysunek obok:

Nazwijmy trójkąt ABC trójkątem bazowym. Rozwiązując odpowiednie układy równań znajdziemy odwzorowania $w_1$,$w_2$,$w_3$ , które przekształcą trójkąt zawierający paprotkę na odpowiednie jej części objęte trójkątami $T_1$, $T_2$,$T_3$. Rozpatrywać będziemy odwzorowanie w, które jest sumą odwzorowań $w_1$,$w_2$,$w_3$ , czyli w(A)=$w_1\left(A\right)\cup w_2\left(A\right)\cup w_3\left(A\right)$. Przekształcenie w jest przekształceniem zwężającym (przekształca "duży" trójkąt na małe). Jeśli przyjmiemy pojęcie odległości jako metrykę Hausdorffa opisaną poprzednio, to odwzorowanie w (zwane operatorem Hutchinsona) spełnia założenia twierdzenia Banacha o punkcie stałym. Punkt stały tego odwzorowania nazywa się fraktalem lub atraktorem. Równoważnie możemy stwierdzić, że fraktalem (atraktorem) jest granica ciągu $x_n$ opisanego w dowodzie twierdzenia Banacha.

Matematyczne twierdzenia zapewniają zatem istnienie pewnych obiektów granicznych, ale pojawiają się dwa kluczowe problemy:

1) nawet przy trzech odwzorowaniach $w_i$ i przyjęciu za zbiór A pojedynczy punkt płaszczyzny już przy jednokrotnym zastosowaniu odwzorowania w otrzymujemy 3 punkty, po dwukrotnym $3^2$ punktów następnie $3^3$, a po k krokach $3^k$ punktów. Liczba $3^k$ bardzo szybko rośnie, a przecież aby wyznaczyć punkty w kroku k-tym musimy pamiętać punkty z kroku k-1 szego

2) czy fraktal wygenerowany w opisywany sposób jest przewidywalny czy jest tylko przypadkowym obiektem generowanym w ciągu iteracji?

Na pierwsze i drugie pytanie matematyka daje odpowiedzi.

Jeśli chodzi o problem pierwszy okazuje się, że istnieje tzw. probabilistyczny sposób konstrukcji fraktali. Przyporządkujmy każdemu z odwzorowań $w_i$ prawdopodobieństwo $p_i$ w taki sposób, że suma prawdopodobieństw $p_1+p_2+...+p_n$ wynosi 1. Następnie wybieramy dowolny punkt $x_0$∈R. Losujemy jedno z odwzorowań $w_i$ i za pomocą tego odwzorowania przekształcamy punkt $x_0$ otrzymując punkt $x_1=f\left(x_0\right)$. Następnie znów losujemy jedno z odwzorowań przekształcamy punkt $x_1$ otrzymując punkt$x_2=f\left(x_1\right)$ itd. Okazuje się, że fraktal wygenerowany w ten sposób będzie "dowolnie mało" różnił się od fraktala wygenerowanego metodą opisaną powyżej. Napisana przeze mnie aplikacja korzysta właśnie z tej metody.

Na pytanie 2 częściową odpowiedź daje nierówność, którą wyżej oznaczyłem w pierwszym slajdzie (*). Wynika z niej,że jeśli A jest fraktalem wygenerowanym przez ciąg $x_n$, $A_0$ obrazem początkowym to prawdziwa będzie nierówność

h($A_0,A$) ≤$\frac{{\alpha }^0}{1-\alpha }$ h($A_0,w\left(A_0\right)$)=$\frac{1}{1-\alpha }$ h($A_0,w\left(A_0\right)$)

Metryka h oznacza tu oczywiście metrykę Hausdorffa. Jeśli teraz postawimy sobie zadanie znalezienia takiego odwzorowania w aby fraktal A był jak najbardziej bliski (w sensie metryki Hausdorffa) obrazowi początkowemu $A_0$ to z powyższej nierówności wynika, że odległość ta będzie niejako kontrolowana przez jednokrotne zastosowanie odwzorowania w. Oznacza to, że jeśli obraz $w_1\left(A_0\right)\cup w_2\left(A_0\right)$∪...∪$w_n\left(A_n\right)$

będzie bliski $A_0$ to tym bardziej wygenerowany fraktal będzie bliski obrazowi początkowemu $A_0$. Dlatego dość łatwo jest generować (kodować) obrazy samopodobne, gdyż "pokrywając" obraz początkowy trójkątem (na poprzednim rysunku ABC) i szukając odwzorowań, które przekształcą całą paprotkę na pewne jej części mamy pewność, że już po jednokrotnym zastosowaniu odwzorowania w obraz będzie "bliski" $A_0$

Gra w chaos nazwa na tak przez brytyjskiego matematyka M.F. Bransleya pokazuje że ciąg teoretycznie chaotycznych czynności prowadzi do przewidywalnych efektów.

Zasady gry są bardzo proste. Rysujemy trójkąt równoboczny (choć nie jest to konieczne założenie) oznaczamy jego wierzchołki przez 1,2,3 .

Wybieramy dowolny punkt A wewnątrz trójkąta. Następnie losujemy jeden z wierzchołków. W środku odcinka między punktem A a wylosowanym wierzchołkiem stawiamy punkt $x_0$.

Następnie znów losujemy jeden z wierzchołków trójkąta i stawiamy punkt w środku odcinka między wybranym wierzchołkiem a punktem $x_0$.Czynność tą powtarzamy kilka tysięcy razy.

Okazuje się, że bez względu na wybór punktu początkowego A obiektem granicznym tego postępowania jest trójkąt Sierpińskiego.

Teoria zbiorów Julii i Fatou wiąże się nierozerwalnie z iteracją wymiernych funkcji zespolonych. Ja skupię się na szczególnym przypadku funkcji wymiernej,na funkcji kwadratowej postaci
f(z)=$z^2+c$, gdzie z oraz c są liczbami zespolonymi. Pojęcie iteracji wyjaśniłem w zakładce płaszczyzna zespolona. Basenem przyciągania punktu ∞ odpowiadającym funkcji f nazywamy zbiór A(∞) tych liczb zespolonych z dla których ciąg iteracji $f^n\left(z\right)$ dąży do nieskończoności. Zbiór Julii odpowiadający funkcji f to "brzeg" zbioru A(∞). Dopełnienie zbioru Julli (czyli te liczby, które nie należą do zbioru Julli) nazywa się zbiorem Fatou.

Konstrukcja zbioru Mandelbrota przebiega podobnie do konstrukcji zbioru Julii. Znów rozpatrujemy funkcję f(z)=$z^2+c$. Zbiorem Mandelbrota nazywamy zbiór wszystkich liczb zespolonych c dla których ciąg iteracji o punkcie początkowym $z_0$=0 , tzn. ciąg $z_0$, $z_1$=c, $z_2=c^2+c$, $z_3={(c^2+c)}^2+c$ ,... jest ograniczony.
Można udowodnić twierdzenie analogiczne do twierdzenia pomocnego przy konstrukcji zbioru Julii:

Jeśli ciąg modułów iteracji $z_0$, $z_1$=c, $z_2=c^2+c$, $z_3={(c^2+c)}^2+c$ ,... jest ograniczony przez 2, to liczba c należy do zbioru Mandelbrota.

Zatem algorytm konstrukcji zbioru Mandelbrota przebiega niemal identycznie jak algorytm konstrukcji zbioru Julii.

Największe tajemnice kryje brzeg zbioru Mandelbrota. Matematycy próbują uzasadnić podobieństwo zbiorów Julii i pewnych fragmentów zbioru Mandelbrota.Na ten temat w internecie dostępna jest praca chińskiego matematyka Tan Lei

Za pracę nad tym zbiorem francuski matematyk Jean-Christopher Yoccoz został w 1994 roku nagrodzony najcenniejszą nagrodą w dziedzinie matematyki medalem Fieldsa.
Napisana przeze mnie aplikacja "Zbiór Mandelbrota jako mapa zbiorów Julii" pokazuje odwzorowanie punktów zbioru Mandelbrota na odpowiadające im zbiory Julli.

Bardzo ciekawe właściwości posiada "szyjka" zbioru Mandelbrota. Znajduje się ona na płaszczyźnie zespolonej dla c = -0.75 +0i. Badając jej grubość sprawdzamy ilu iteracji potrzeba aby ciąg iteracji funkcji f(z)=$z^2-$0.75 + εi "uciekł" do nieskończoności a dokładniej ilu iteracji potrzeba aby |$z_n$| > 2. Dostajemy następujące zależności:

liczba ε	ilość iteracji
0.1	33
0.01	315
0.001	3143
0.0001	31417
0.00001	314160
0.000001	31411593

Liczba iteracji przypomina znaną wszystkim liczbę π !

Mówiąc ściślej jeśli pomnożymy liczbę iteracji przez ε dostaniemy liczbę π z bardzo dobrą dokładnością. Dokładne informacje na temat tej własności zbioru Mandelbrota można znaleźć w książce (J. Guckenheimera i P. Holmesa, Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems and Bifurcations of Vector Fields, Springer-Verlag, New York 1983, str. 334).

Wymiar figury często kojarzymy z ilością współrzędnych za pomocą których możemy opisać każdy punkt tej figury. Tak więc punkty odcinka zapisujemy za pomocą jednej współrzędnej, kwadratu czy koła za pomocą dwóch współrzędnych, sześcianu za pomocą trzech współrzędnych. Takie pojęcie jest bardzo intuicyjne i często wystarczające. Jednak według tej definicji zbiór Cantora będzie miał taki sam wymiar jak odcinek czyli 1 trójkąt Sierpińskiego taki sam jak trójkąt czyli 2 itd. Intuicja podpowiada, że fraktale dzięki swojej konstrukcji w mniejszym stopniu "wypełniają" przestrzeń w stosunku do klasycznych figur więc pod tym względem ich wymiar powinien być mniejszy.

Pojęciem wymiaru zajmowało się wielu słynnych matematyków np. Felix Hausdorff, czy Andriej Kołmogorow. Ten ostatni matematyk wprowadził pojęcie tzw. wymiaru pudełkowego.

Definicja wymiaru pudełkowego wymaga wprowadzenia pojęcia kostki n-wymiarowej ; w przypadku wymiaru 1 taką kostką jest po prostu odcinek, w przypadku wymiaru 2 kwadrat, wymiaru 3 sześcian. Jeśli liczba N oznacza najmniejszą liczbę kostek o boku ε potrzebną do pokrycia całego zbioru to liczba d=$\underset{\epsilon \to \infty }{lim}\frac{\log N}{\log \frac{1}{\epsilon }}$ o ile istnieje nazywa się wymiarem pudełkowym zbioru. Pokażę kilka przykładów obliczania wymiaru pudełkowego różnych klasycznych zbiorów używając definicji w wersji "ciągów". Do obliczenia wymiaru wykorzystuje się podstawowe własności logarytmów.

Przykład 4. Ten przykład pokazuje, że na płaszczyźnie istnieją zbiory o dowolnym wymiarze pudełkowym d∈<0,2>. Skonstruujemy dywan Sierpińskiego w następujący sposób; z kwadratu o boku długości 1 wycinamy przez środki przeciwległych boków prostokąty o boku długości p∈(0,1).

Otrzymujemy 4=$4^1$ kwadraty o boku długość $a_1$= $\frac{1-p}{2}$. Z każdym z czterech kwadratów robimy to samo. Otrzymujemy 16=$4^2$ kwadratów o bokach długości

$a_2$=$\frac{1}{2}$($\frac{1-p}{2}$ - p$\frac{1-p}{2}$) = $\frac{1-p-p+p^2}{4}$=$\frac{{\left(1-p\right)}^2}{4}$.

W następnym kroku powtarzamy procedurę i z każdym z 16 kwadratów robimy to samo otrzymując 64= $4^3$kwadraty o boku długości:

$a_3$=$\frac{1}{2}(\frac{{\left(1-p\right)}^2}{4}-p\frac{{(1-p)}^2}{4})$=$\frac{{(1-p)}^3}{8}$

Kontynuując postępowanie w n-tym kroku dostalibyśmy $4^n$ kwadratów o bokach długości ${\left(\frac{1-p}{2}\right)}^n$

Wymiar pudełkowy wynosi zatem d=${lim}_{n\to \infty }\frac{\log 4^n}{\log {\left(\frac{2}{1-p}\right)}^n}$=$\frac{2\log 2}{\log \left(\frac{2}{1-p}\right)}$=$\frac{2\log 2}{\log 2-\log (1-p)}$

Wykres funkcji f(p)=$\frac{2\log 2}{\log 2-\log (1-p)}$ wygląda tak

Z wykresu można wnioskować, że wymiar pudełkowy dywanu Sierpińskiego w zależności od wyboru p może być dowolną liczbą z przedziału (0,2).